economics

[perrygogas]

Μετά τα δομημένα ομόλογα, μερικά εισαγωγικά πράγματα για τα fractals!!!

Στην απλή Ευκλείδια γεωμετρία τα σχήματα είναι απλά και οι διαστάσεις τους ακέραιοι αριθμοί:

Μια ευθεία έχει 1 διάσταση
Ένα τετράγωνο 2 όπως και ένα τραπέζιο κλπ
Ένας κύβος και μια σφαίρα 3 διαστάσεις κοκ...

Το πρόβλημα με την Ευκλείδια γεωμετρία είναι ότι είναι αφαιρετική...η φύση και τα φαινόμενα δεν είναι Ευκλείδια!

- Τα φύλλα ενός δέντρου δε ειναι τρίγωνα
- Οι ακτογραμμές δε είναι ευθείες
- Ένα δέντρο δεν είναι κύλινδος!

Η Μορφοκλασματική και Πολυμορφοκλασματική Γεωμετρία εισάγει τις κλασματικές διαστάσεις! και ένα σχήμα που έχει κλασματικές διαστάσεις αποτελεί fractal.

Παράδειγμα:

Ένα παράδειγμα ενός fractal αποτελεί η χιονονιφάδα του Koch.

1. Παρτε ένα τριγωνο ισοσκελές - σχήμα 1, γραμμή 1
2. Αντικαταστήστε σε κάθε πλευρά το μεσαίο 1/3 κομμάτι της πλευράς με ένα ισοσκελές τρίγωνο και παίρνετε το σχήμα 2 της πρώτης σειράς
3. Συνεχίζοντας επ' άπειρο τις αντικαταστάσεις παίρνουμε την χιονονιφάδα του Koch




Τα χαρακτηριστικά της είναι ότι με τον τρόπο που την κατασκευάσαμε έχει άπειρη περίμετρο που περικλέιει ένα πεπερασμένο εμβαδό!

Γιατί?

Επειδή με κάθε αντικατάσταση γραμμής, πχ στην πρώτη έχουμε μια πλευρα, που μετα την πρωτη αντικατάσταση στο σχήμα 2 της πρωτης σειρας γίνονται 4, μετά 16 κοκ τετραπλασιάζονται σε κάθε βήμα. Έτσι αν η αρχικη πλευρα ητανε μηκους λ, αυτη γινεται στο δευτερο σχημα:

4 * 1/3 * λ = 4/3 λ

4 επειδή έχουμε 4 ευθύγραμμα τμήματα
1/3 επειδη το καθενα ειναι το 1/3 του αρχικού μήκους λ.

Ετσι το συνολικο μηκος της περιμετρου αυξανεται κατα 1/3 σε κάθε βημα!!!

Στο βήμα 10 θα ειναι το μηκος της περιμετρου (4/3)^10*λ!
Σε άπειρα βηματα η γραμμη θα εχει μηκος (4/3)^απειρο*λ δηλαδη απειρη!
Αλλα η περιμετρος αυτη συνεχιζει να περικλειει ενα πεπερασμενο εμβαδο καθως καλλιστα όλο το δημιουργημα μπορει να περικλειεται σε ενα απλο τετραγωνο.

Η διάσταση αυτης της γραμμης συμφωνα με την μορφοκλασματικη γεωμετρια λοιπον δεν ειναι 1 οπως απλοποιημενα λεμε στην Ευκλείδια, αλλά log(4)/log(3) που είναι ίσο με 1.26 περίπου!

Ο πατέρας της μορφοκλασματικής και πολυμορφοκλασματικής γεωμετριας είναι ο Benoit Mandelbrot